Кинетический момент точки и механической системы
Рис. 3.14
Одной из динамических характеристик движения материальной точки и механической системы является кинетический момент или момент количества движения.
Для материальной точки кинетическим моментом относительно какого–либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра (рис. 3.14),
Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется проекция на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра на этой оси:
Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра (рис. 3.15):
(3.20)
Кинетический момент приложен к точке О , относительно которой он вычисляется.
Если спроецировать (3.20) на оси декартовой системы координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси, или кинетические моменты относительно осей координат:
Определим кинетический момент тела относительно его неподвижной оси вращения z (рис. 3.16).
Согласно формулам (3.21), имеем
Но при вращении тела с угловой скоростью w скорость 
причем количество движения точки 
перпендикулярно отрезку d k
и лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения Oz
, следовательно,
| Рис. 3.15 | Рис. 3.16 |
Для всего тела:
где J z – момент инерции относительно оси вращения.
Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.
2. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы
Кинетический момент системы относительно неподвижного центра O (рис. 3.15)
Возьмем от левой и правой части этого равенства производную по времени:
(3.22)
Учтем, что 
тогда выражение (3.22) примет вид
Или, с учетом того, что 
– сумма моментов внешних сил относительно центра O , окончательно имеем:
(3.23)
Равенство (3.23) выражает теорему об изменении кинетического момента.
Теорема об изменении кинетического момента. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.
Спроектировав равенство (3.23) на неподвижные оси декартовых координат, получим запись теоремы в проекциях на эти оси:
Из (3.23) следует, что если главный момент внешних сил относительно какого-либо неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент относительно этого центра остается постоянным, т.е. если
(3.24)
Если же сумма моментов внешних сил системы относительно какой–либо неподвижной оси равна нулю, то соответствующая проекция кинетического момента остается постоянной,
(3.25)
Утверждения (3.24) и (3.25) представляют собой закон сохранения кинетического момента системы.
Получим теорему об изменении кинетического момента системы, выбрав в качестве точки при вычислении кинетического момента точку A , движущуюся относительно инерциальной системы отсчета со скоростью
Кинетический момент системы относительно точки A (рис. 3.17)
| Рис. 3.17 |
так как 
то
Учитывая, что 
где – скорость центра масс системы, получаем
Вычислим производную по времени от кинетического момента
В полученном выражении:
Объединяя второе и третье слагаемое, и учитывая, что 
окончательно получаем
Если точка совпадает с центром масс системы C
, то 
и теорема принимает вид
т.е. она имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О .
3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Az
(рис. 3.18) под действием системы внешних сил 
Запишем уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы в проекции на ось вращения:
| Рис. 3.18 |
Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:
где J z – постоянный момент инерции относительно оси вращения; w – угловая скорость.
Учитывая это, получаем:
Если ввести угол поворота тела j, то, учитывая равенство 
имеем
(3.26)
Выражение (3.26) есть дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
4. Теорема об изменении кинетического момента системы
в относительном движении по отношению к центру масс
Для исследования механической системы выберем неподвижную систему координат Ox 1 y 1 z 1 и подвижную Cxyz с началом в центре масс C , движущуюся поступательно (рис. 3.19).
Из векторного треугольника:
| Рис. 3.19 |
Дифференцируя это равенство по времени, получаем
или 
где – абсолютная скорость точки M k
, - абсолютная скорость центра масс С
, 
- относительная скорость точки M k
, т.к. 
Кинетический момент относительно точки О
Подставляя значения и , получим
В этом выражении: 
– масса системы; 
; 
– кинетический момент системы относительно центра масс для относительного движения в системе координат Сxyz
.
Кинетический момент принимает вид
Теорема об изменении кинетического момента относительно точки О имеет вид
Подставим значения и 
получим
Преобразуем это выражение с учетом, что
или 
Эта формула выражает теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс. Она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.
Из двух основных динамических характеристик, величина является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора относительно данного центра О или оси z обозначается или и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора так же, как и момент силы. При этом вектор считается приложенным к движущейся точке. По модулю , где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора (рис.15).
Теорема моментов относительно центра. Найдем для материальной точки, движущейся под действием силы F (рис.15), зависимость между моментами векторов и относительно какой-нибудь неподвижного центра О . В конце было показано, что .
Аналогично 
При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор , а вектор - перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор .
Рис.15
Дифференцируя выражение по времени, получаем:
Но , как векторное произведение двух параллельных векторов, a . Следовательно,
В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра
.
Аналогичная теорема имеетместо для моментов вектора
силы относительно какой-нибудь оси z,
в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства 
на эту ось. Математическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой 
.
Вопросы для самопроверки
Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?
Какие силы называют движущими?
Какие силы называют силами сопротивления?
Запишите формулы для определения работы при поступательном и вращательном движениях?
Какую силу называют окружной? Что такое вращающий момент?
Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.
Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?
Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?
Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?
Чему равна работа равнодействующей силы.
Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?
Каково векторное выражение элементарной работы?
Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?
Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.
В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?
Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?
На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю.
В каком случае работа силы упругости положительна и в каком – отрицательна?
Какая сила называется: а) консервативной; б) неконсервативной; в) диссипативной?
Что называется потенциалом консервативных сил?
Какое поле называется потенциальным?
Что называется силовой функцией?
Что называется силовым полем? Приведите примеры силовых полей.
Какими математическими зависимостями связаны потенциал поля и силовая функция?
Как определить элементарную работу сил потенциального поля и работу этих сил на конечном перемещении системы, если известна силовая функция поля?
Какова работа сил, действующих на точки системы в потенциальном поле, на замкнутом перемещении?
Чему равна потенциальная энергия системы в любом ее положении?
Чему равно изменение потенциальной энергии механической системы при перемещении ее из одного положения в другое?
Какая зависимость существует между силовой функцией потенциального поля и потенциальной энергией системы, находящейся в этом поле?
Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ее скорость увеличилась с 10 до 20 м/с?
Как определяются проекции на координатные оси силы, действующей в потенциальном поле на любую точку системы?
Какие поверхности называются эквипотенциальными и каковы их уравнения?
Как направлена сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, по отношению к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку?
Чему равна потенциальная энергия материальной точки и механической системы, находящихся под действием сил тяжести?
Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля силы тяжести и ньютоновой силы тяготения?
В чем заключается закон сохранения и превращения механической энергии?
Почему под действием центральной силы материальная точка описывает плоскую кривую?
Что называют секторной скоростью и как выразить ее модуль в полярных координатах?
В чем заключается закон площадей?
Какой вид имеет дифференциальное уравнение в форме Бине, определяющее траекторию точки, движущейся под действием центральной силы?
По какой формуле определяется модуль ньютоновой силы тяготения?
Каков канонический вид уравнения конического сечения и при каких значениях эксцентриситета траектория тела, движущегося в поле ньютоновой силы тяготения, представляет собой окружность, эллипс, параболу, гиперболу?
Сформулируйте законы движения планет, открытые Кеплером.
При каких начальных условиях тело становится спутником Земли и при каких оно способно преодолеть земное притяжение?
Каковы первая и вторая космические скорости?
Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях?
Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести?
Запишите формулы для расчета мощности при поступательном и вращательном движениях?
Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин?
Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг, если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?
Определите общий КПД механизма, если при мощности двигателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН скорость движения 5 м/с.
Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то он уменьшает скорость движения. Почему?
Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении W =10 Дж. Какой угол составляет направление силы с направлением перемещения?
1) острый угол;
2) прямой угол;
3) тупой угол.
Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость увеличится в два раза?
1) увеличится в два раза;
2) увеличится в четыре раза.
Чему равна работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела?
1) произведению силы тяжести на перемещение;
2) работа силы тяжести равна нулю.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня 0,2 кг.
Задача 2. Камень бросили под углом 60° к горизонту со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 3.
Задача 4. Танк, масса которого 15 т и мощность 368 кВт, поднимается в гору с уклоном 30°. Какую максимальную скорость может развивать танк?
Задача 5. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась, если известно, что разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?
Задача 6. Ветер, дующий со скоростью v 0 =20 м/с, действует на парус площадью s=25 м 2 с силой F=a sρ(v 0 -v) 2 /2, где а - безразмерный коэффициент, ρ - плотность воздуха, v - скорость судна. Определите условия, при которых мощность ветра максимальна. Найти работу силы ветра.
Задача 7. Автомобиль массой в 1 тонну движется под гору при выключенном моторе с постоянной скоростью 54 км/ч. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность должен развивать двигатель этого автомобиля, чтобы автомобиль двигался с той же скоростью в гору с тем же уклоном?
Задача 8. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне и деформирует болванку. Масса наковальни вместе с болванкой равна 20 т. Определить КПД при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной.
Задача 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой 500 кг падает на сваю массой 100 кг со скоростью 4 м/с. Определить: а) кинетическую энергию бойка в момент удара; б) энергию, затраченную на углубление сваи в грунт, в) энергию, затраченную на деформацию сваи, г) КПД удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.
Задача 10. Снаряд вылетает из орудия под углом α к горизонту со скоростью v 0 . В верхней части траектории снаряд разрывается на две равные части, причем скорости частей непосредственно после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Одна половина упала на расстоянии s от орудия по направлению выстрела. Определить место падения второй половины, если известно, что она упала дальше первой. Считать, что полет снаряда происходит в безвоздушном пространстве.
Задача 11. Снаряд летит в безвоздушном пространстве по параболе и разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна половина снаряда упала вертикально вниз, вторая на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Определить скорость снаряда перед разрывом, если известно, что взрыв произошел на высоте Н и упавшая по вертикали вниз половина снаряда падала время τ.
Глава 14. Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента.
14.5. Момент количества движения.
14.5.1. Материальная точка массой m = 0,5 кг движется по оси Оу согласно уравнению у = 5t 2 . Определить момент количества движения этой точки относительно центра О в момент времени t = 2 с. (Ответ 0)
14.5.2. Материальная точка М массой m = 0,5 кг движется со скоростью v = 2 м/с по прямой АВ. Определить момент количества движения точки относительно начала координат, если расстояние ОА = 1 м и угол α = 30°. (Ответ 0,5)
14.5.3. Материальная точка М массой m = 1 кг движется равномерно по окружности со скоростью v = 4 м/с. Определить момент количества движения этой точки относительно центра С окружности радиуса r = 0,5 м. (Ответ 2)
14.5.4. Движение материальной точки М массой m = 0,5 кг происходит по окружности радиуса r = 0,5 м согласно уравнению s = 0,5t 2 . Определить момент количества движения этой точки относительно центра окружности в момент времени t = 1 с. (Ответ 0,25)
14.5.5. Определить момент количества движения материальной точки массой m = 1 кг относительно начала координат в положении, когда ее координаты х = у = 1 м и проекции скорости v x = v y = 1 м/с. (Ответ 0)
14.5.6. Материальная точка М массой m = 0,5 кг движется по кривой. Даны координаты точки: х = у = z = 1 м и проекции скорости v x = 1 м/с, v у = 2 м/с, v z = 4 м/с. Определить момент количества движения этой точки относительно оси O x (Ответ 1)
14.5.7.
Материальная точка массой m = 1 кг движется по закону: х = 2t, у = t 3 , z = t 4 . Определить момент количества движения этой точки относительно оси О у в момент времени t = 2 с.
(Ответ -96)
14.5.8. Скорость материальной точки массой m = 1 кг определяется выражением v = 2ti + 4tj + 5k. Определить модуль момента количества движения точки относительно начала координат в момент времени t = 2 с, когда ее координаты х = 2 м, у = 3 м, z = 3 м. (Ответ 10,0)
14.5.9. Трубка равномерно вращается с угловой скоростью ω = 10 рад/с. По трубке движется шарик массой m = 1 кг. Определить момент количества движения шарика относительно оси вращения трубки, когда расстояние ОМ = 0,5 м и скорость шарика относительно трубки v r = 2 м/с. (Ответ 2,5)
14.5.10. Конус вращается равномерно вокруг оси A z с угловой скоростью ω = 4 рад/с. По образующей конуса движется материальная точка М массой 1 кг. Определить момент количества движения материальной точки относительно оси O z в положении, когда расстояние ОМ = 1 м, если угол α = 30°. (Ответ 1)
14.5.11.
Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 6 кг вращается с угловой скоростью ω
= 10 рад/с. Определить кинетический момент стержня относительно центра О.
(Ответ 20)
14.5.12. Тонкостенная труба массой m = 10 кг катится по горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Определить кинетический момент цилиндра относительно мгновенной оси вращения, если радиус r =10 см. (Ответ 2)
14.5.13. Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω = 6 рад/с. Колесо 2 катится по неподвижному колесу 1. Определить кинетический момент колеса 2 относительно его мгновенною центра скоростей К, если радиус r = 0,15 м. Колесо 2 считать однородным диском массой m = 3 кг. (Ответ 1,22)
14.5.14. Конус катится по неподвижной плоскости без скольжения. Скорость центра основания конуса v c = 0,9 м/с, радиус r = 30 см. Определить модуль кинетического момента конуса относительно мгновенной оси вращения, если его момент инерции относительно этой оси равен 0,3 кг м 2 . (Ответ 1,04)
14.5.15. В плоскости О ху движутся материальные точки М 1 и М 2 , массы которых m 1 = m 2 = 1 кг. Определить кинетический момент данной системы материальных точек относительно точки О в положении, когда скорости v 1 = 2v 2 = 4 м/с, расстояния ОМ 1 = 2ОМ 2 = 4м и углы α 1 = α 2 = 30°. (Ответ 6)
14.5.16.
Материальные точки М 1 ,М 2 ,М 3 массы которых m 1 = m 2 = m 3 = 2 кг, движутся по окружности радиуса r = 0,5 м. Определить кинетический момент системы материальных точек относительно центра О окружности, если их скорости v
1 = 2 м/с, v
2 = 4 м/с, v
3 = 6 м/с. (Ответ 12)
14.5.17.
Цилиндр 1 вращается с угловой скоростью ω
= 20 рад/с. Его момент инерции относительно оси вращения I = 2 кг м 2 , радиус r = 0,5 м. Груз 2 имеет массу m 2 = 1 кг. Определить кинетический момент механической системы относительно оси вращения. (Ответ 45)
14.5.18. На барабан 2, момент инерции которого относительно оси вращения I = 0,05 кг м 2 , намотаны нити, к которым прикреплены грузы 1 и 3 массой m 1 = 2m 3 = 2 кг. Определить кинетический момент системы тел относительно оси вращения, если угловая скорость ω = 8 рад/с, радиусы R = 2r = 20 см. (Ответ 1,12)
В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.
Моментом количеством движения материальной точки относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый равенством
Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом .
Момент количества движения относительно какой-либо оси , проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения на эту ось .
Если количество движения задано своими проекциями на оси координат и даны координаты точки в пространстве, то момент количества движения относительно начала координат вычисляется следующим образом:
Проекции момента количества движения на оси координат равны:
Единицей измерения количества движения в СИ является – .
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Динамика
Лекция.. краткое содержание введение в динамику аксиомы классической механики.. введение..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Системы единиц
СГС
Си
Техническая
[L]
см
м
м
[M]
Дифференциальные уравнения движения точки
Основное уравнение динамики
можно записать так
Основные задачи динамики
Первая или прямая задача:
Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу.
m
Наиболее важные случаи
1. Сила постоянна.
Количество движения точки
Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению м
Элементарный и полный импульс силы
Действие силы на материальную точку в течении времени
Теорема об изменении количества движения точки
Теорема. Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.
Запишем основной закон динамики
Теорема об изменении момента количества движения точки
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же
Работа силы. Мощность
Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.
Теорема об изменении кинетической энергии точки
Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.
Принцип Даламбера для материальной точки
Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид:
Динамика несвободной материальной точки
Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.
Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями
Относительное движение материальной точки
Во многих задачах динамики движение материальной точки рассматривается относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы отсчета.
Частные случаи относительного движения
1. Относительное движение по инерции
Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называется относительны
Геометрия масс
Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа материальных точек с массами
Моменты инерции
Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.
Момент инерции относительно точки
Моменты инерции простейших тел
1. Однородный стержень
2. Прямоугольная пластина
3. Однородный круглый диск
Количество движения системы
Количеством движения системы материальных точек называется векторная сумма колич
Теорема об изменении количества движения системы
Эта теорема существует в трех различных формах.
Теорема. Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих н
Законы сохранения количества движения
1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю (), то количество движения системы постоянно
Теорема о движении центра масс
Теорема Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассмат
Момент количества движения системы
Моментом количества движения системы материальных точек относительно некоторого
Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.
Теорема об изменении момента количества движения системы
Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на
Законы сохранения момента количества движения
1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю (
Кинетическая энергия системы
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.
Кинетическая энергия твердого тела
1. Поступательное движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.
Теорема об изменении кинетической энергии системы
Эта теорема существует в двух формах.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систе